Матрицы

Что такое матрица

Матрица - это прямоугольный массив элементов, записанных в виде набора строк и столбцов, количество которых определяют размер матрицы. Запись в виде прямоугольной таблицы, содержащая m - строк и n - столбцов, называется матрицей и записывается в виде:

$$ \left| \begin{array}{rrr} 0 & -33 & 58 & 45 \\ 23 & 0 & 7 & 5 \\ 6 & 0 & -11 & 21 \end{array}\right|, \ \left[ \begin{array}{rrr} a & f \\ c & d \end{array}\right], \ \left( \begin{array}{ccc} \cos\alpha \\ sin\alpha \\ sin(\alpha + \beta) \end{array}\right) $$

Запись данных в виде матрицы позволяет компактно предоставить набор данных (чисел, символов, переменных и т.д.) и в последующем выполнить математические операции над этими данными или математические преобразования записанных в матрице данных.

выше указанная первая матрица: $$ \left( \begin{array}{rrr} 0 & -33 & 58 & 45 \\ 23 & 0 & 7 & 5 \\ 6 & 0 & -11 & 21 \end{array}\right) $$

• это матрица размерностью 3 × 43 – строки и 4 – столбца
• у матрицы три строки: $ \left( \begin{array}{ccc} 0 & -33 & 58 & 45 \end{array}\right), \ \left( \begin{array}{ccc} 23 & 0 & 7 & 5 \end{array}\right), \ \left( \begin{array}{ccc} 6 & 0 & -11 & 21 \end{array}\right), \ $
• у матрицы четыре столбца: $ \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 23 \\ 6 \end{array}\right), \ \left( \begin{array}{ccc} -33 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), \ \left( \begin{array}{ccc} 58 \\ 7 \\ -11 \end{array}\right), \ \left( \begin{array}{ccc} 45 \\ 5 \\ 21 \end{array}\right) $
• каждому элементу матрицы можно присвоить порядковый номер и записать в виде: $ a_{11}\!=\!0,\ a_{12}\!=\!-33,\ a_{13}\!=\!58,\ a_{14}\!=\!45,$ $ a_{21}\!=\!23,\ a_{22}\!=\!0,\ a_{23}\!=\!7,\ a_{24}\!=\!5,\ $ $ a_{31}\!=\!6,\ a_{32}\!=\!0,\ a_{33}\!=\!-11,\ a_{34}\!=\!21 $

Для выполнения математических операций над матрицами, необходимо четко и однозначно идентифицировать каждый элемент матрицы и его взаимное расположение в матрице относительного других элементов. Для этого, каждому элементу присваивается порядковый номер, состоящий из номера строки и номера столбца в которых расположен элемент. Например, элемент расположенный в первой строке и третьем столбце будет иметь порядковый номер: $ а_{13} $.

Используя указанное правило нумерации элементов матрицы, матрицу размерностью m – строк и n – столбцов, можно записать в виде:

$$ A = \left[ \begin{array}{rrr} a_{11} & a_{12} & a_{13} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & ... & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & ... & a_{3n} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & ... & a_{mn} \end{array}\right] $$

где элементом $ а_{ij} $ матрицы может быть любое действительное или комплексное число, функция, буква или слово или любой другой символ. Матрица может даже состоять из элементов, каждый из которых будет являться так же матрицей.

---

Существует несколько видов матриц, обладающих фиксированными параметрами. Например, матрица, состоящая только из строки или столбца, или матрица содержащая все нули. Запись матриц в подобном виде помогает упростить некоторые математические операции над матрицами.

Рассмотрим некоторые виды специальных матриц.

Специальные виды матриц

Нулевая матрица - это матрица произвольного порядка называется нулевой матрицей тогда и только тогда, когда каждый элемент матрицы равен нулю. $ \left( \begin{array}{rrr} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) $

Матрица «вектор-строка» - это матрица, которая имеет только одну строку. $ \left( \begin{array}{rrr} 3x & 2y & 45xy & 9 \end{array}\right) $

Матрица «вектор-столбец» - это матрица, которая имеет только один столбец. $ \left( \begin{array}{ccc} 45 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right) $