Algebra

Faktorisering

Faktorisering giver dig mulighed for at konvertere et matematisk udtryk til en enklere form, som giver dig mulighed for at udføre yderligere transformationer eller finde den rigtige løsning. Et eksempel på formler til matematiske transformationer er faktorisering af polynomer, ved hjælp af hvilke graden af polynomer reduceres. Og for eksempel udføres ved hjælp af Newtons Binom, nedbrydning i separate vilkår for grad af to variabler.

Forenklingsformler bruges til at eksponere parenteser af grader, reducere graden af en sum eller en forskel og også til andre matematiske forenklinger. I formlerne nedenfor i stedet for tegn «a» og «b» numeriske værdier, variabler eller eventuelle matematiske udtryk og formler kan anvendes.

Nederst på siden kan du downloade formler i form af billeder til efterfølgende udskrivning og bruges som referencemateriale til løsning af problemer.


1. Mængde kvadratisk

(a+b)2\displaystyle{ (a+b)^2 }=a2+2ab+b2\displaystyle{ = a^2 + 2ab +b^2 }
(a+b+c)2\displaystyle{ (a+b+c)^2 }=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc\displaystyle{ = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc }
(a+b)2\displaystyle{ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 }=a+2ab+b\displaystyle{ = a + 2 \sqrt{ab} + b }=a+b+2ab\displaystyle{ = a+b+2\sqrt{ab} }

2. Forskel kvadrat

(ab)2\displaystyle{ (a-b)^2 }=a22ab+b2\displaystyle{ = a^2 - 2ab +b^2 }
(ab)2\displaystyle{ (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 }=a2ab+b\displaystyle{ = a - 2 \sqrt{ab} + b }=a+b2ab\displaystyle{ = a+b-2\sqrt{ab} }

3. Summen og forskellen på firkanter

a2+b2\displaystyle{ a^2+b^2 }=(a+b)22ab=(ab)2+2ab\displaystyle{ = (a+b)^2 - 2ab = (a-b)^2 + 2ab }
a2b2\displaystyle{ a^2-b^2 }=(ab)(a+b)\displaystyle{ = (a-b) \cdot (a+b)}

4. Beløb i tredje grad

(a+b)3\displaystyle{ (a+b)^3 }=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)\displaystyle{ = a^3 +3a^2b+3ab^2+b^3 = a^3+b^3+3ab \cdot (a+b) }=a3+b3+3ab(a+b)\displaystyle{ = a^3+b^3+3ab \cdot (a+b) }
(a+b+c)3\displaystyle{ (a+b+c)^3 }=a3+b3+c3+3a2b+3a2c\displaystyle{ = a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3a^2c }+3ab2+3ac2+3b2c+3bc2+6abc\displaystyle{ + 3ab^2 + 3ac^2 +3b^2c + 3bc^2 +6abc }
(a+b)3\displaystyle{ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^3 }=aa+3ab+3ba+bb\displaystyle{ = a\sqrt{a} + 3a\sqrt{b} + 3b\sqrt{a} + b\sqrt{b} }=(aa+bb)+3ab(a+b)\displaystyle{ = (a\sqrt{a} +b\sqrt{b}) + 3\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) }

5. Tredje graders forskel

(ab)3\displaystyle{ (a-b)^3 }=a33a2b+3ab2b3\displaystyle{ = a^3 - 3a^2b+3ab^2 - b^3 }=a3b33ab(ab)\displaystyle{ = a^3-b^3-3ab \cdot (a-b) }
(ab)3\displaystyle{ (\sqrt{a} - \sqrt{b})^3 }=aa3ab+3babb\displaystyle{ = a\sqrt{a} - 3a\sqrt{b} + 3b\sqrt{a} - b\sqrt{b} }=(aabb)3ab(ab)\displaystyle{ = (a\sqrt{a} - b\sqrt{b}) - 3\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b}) }

6. Summen og forskellen på terninger

a3+b3\displaystyle{ a^3 + b^3 }=(a+b)(a2ab+b2)\displaystyle{ = (a+b) \cdot (a^2-ab+b^2) }
a3b3\displaystyle{ a^3 - b^3 }=(ab)(a2+ab+b2)\displaystyle{= (a-b) \cdot (a^2+ab+b^2) }

7. Faktorisering for fjerde grad

(a+b)4\displaystyle{ (a+b)^4 }=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4\displaystyle{ = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 }
(ab)4\displaystyle{ (a-b)^4 }=a44a3b+6a2b24ab3+b4\displaystyle{ = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4 }
a4+b4\displaystyle{ a^4+b^4 }=(a22ab+b2)(a2+2ab+b2)\displaystyle{ = (a^2- \sqrt{2} \cdot ab + b^2) \cdot (a^2 + \sqrt{2} \cdot ab + b^2) }
a4b4\displaystyle{ a^4-b^4 }=(a2b2)(a2+b2)\displaystyle{ = (a^2-b^2) \cdot (a^2+b^2) }=(ab)(a+b)(a2+b2)\displaystyle{ = (a-b) \cdot (a+b) \cdot (a^2+b^2) }

8. Faktorisering for femte grad

(a+b)5\displaystyle{ (a+b)^5 }=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5\displaystyle{ = a^5+5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5 }
(ab)5\displaystyle{ (a-b)^5 }=a55a4b+10a3b210a2b3+5ab4b5\displaystyle{ = a^5-5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5 }
a5+b5\displaystyle{ a^5+b^5 }=(a+b)(a4a3b+a2b2ab3+b4)\displaystyle{ = (a+b) \cdot (a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4) }
a5b5\displaystyle{ a^5-b^5 }=(ab)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)\displaystyle{ = (a-b) \cdot (a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) }

9. Faktorisering for sjette grad

(a+b)6\displaystyle{ (a+b)^6 }=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b5\displaystyle{ = a^6 + 6a^5b +15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15 a^2b^4 + 6ab^5 + b^5 }
(ab)6\displaystyle{ (a-b)^6 }=a66a5b+15a4b220a3b3+15a2b46ab5+b5\displaystyle{ = a^6 - 6a^5b +15a^4b^2 - 20a^3b^3 + 15 a^2b^4 - 6ab^5 + b^5 }
a6b6\displaystyle{ a^6-b^6 }=(a+b)(a5a4b+a3b2a2b3+ab4b5)\displaystyle{ = (a+b)(a^5 - a^4b + a^3b^2 - a^2b^3 + ab^4 - b^5) }=(a+b)(ab)(a2ab+b2)(a2+ab+b2)\displaystyle{ = (a+b)(a-b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2) }

10. Forkortede multiplikationsformler til graden n, hvor n - ethvert naturligt tal

(a+b)n\displaystyle{ (a+b)^n}=(a+b)n1(a+b)\displaystyle{ = (a+b)^{n-1} \cdot (a+b) }
anbn\displaystyle{ a^n-b^n }=(ab)(an1+an2b+...+abn2+bn1)\displaystyle{ = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + ... + ab^{n-2} + b^{n-1}) }

11. Forkortede multiplikationsformler til graden n, hvor n - jævnt positivt antal

anbn\displaystyle{ a^n-b^n }=(a+b)(an1an2b+...+abn2bn1)\displaystyle{ = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + ... + ab^{n-2} - b^{n-1}) }

12. Forkortede multiplikationsformler til graden n, hvor n - ulige positivt antal

an+bn\displaystyle{ a^n+b^n}=(a+b)(an1an2b+...abn2+bn1)\displaystyle{ = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + ... - ab^{n-2} + b^{n-1}) }

13. Nogle egenskaber ved formler

(ab)2n\displaystyle{ (a-b)^{2n} }=(ba)2n\displaystyle{ = (b-a)^{2n} }
(ab)2n+1\displaystyle{ (a-b)^{2n+1} }=(ba)2n+1\displaystyle{ = -(b-a)^{2n+1} }
(ab)2=(ba)2\displaystyle{ (a-b)^2 = (b-a)^2 }
(a+b)2a2+b2\displaystyle{ (a+b)^2 \ne a^2 + b^2 }

Download faktorisering som billeder

Download faktorisering