Algebra

Binomische formeln

Binomische formeln - erlaube dir, einen mathematischen ausdruck in ein einfacher zu lösendes denken umzuwandeln. Gekürzte multiplikation formel werden verwendet, um die gradklammern zu öffnen, den grad der summe und der differenz zu verringern und für andere mathematische vereinfachungen.

In den folgenden Formeln statt Zeichen «a» und «b» numerische Werte, Variablen oder mathematische Ausdrücke und Formeln können angewendet werden.


1. Quadrat der Summe

(a+b)2\displaystyle{ (a+b)^2 }=a2+2ab+b2\displaystyle{ = a^2 + 2ab +b^2 }
(a+b+c)2\displaystyle{ (a+b+c)^2 }=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc\displaystyle{ = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc }
(a+b)2\displaystyle{ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 }=a+2ab+b\displaystyle{ = a + 2 \sqrt{ab} + b }=a+b+2ab\displaystyle{ = a+b+2\sqrt{ab} }

2. Quadrat der Differenz

(ab)2\displaystyle{ (a-b)^2 }=a22ab+b2\displaystyle{ = a^2 - 2ab +b^2 }
(ab)2\displaystyle{ (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 }=a2ab+b\displaystyle{ = a - 2 \sqrt{ab} + b }=a+b2ab\displaystyle{ = a+b-2\sqrt{ab} }

3. Summe und Differenz der Quadrate

a2+b2\displaystyle{ a^2+b^2 }=(a+b)22ab=(ab)2+2ab\displaystyle{ = (a+b)^2 - 2ab = (a-b)^2 + 2ab }
a2b2\displaystyle{ a^2-b^2 }=(ab)(a+b)\displaystyle{ = (a-b) \cdot (a+b)}

4. Der Betrag im Dritten Grad

(a+b)3\displaystyle{ (a+b)^3 }=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)\displaystyle{ = a^3 +3a^2b+3ab^2+b^3 = a^3+b^3+3ab \cdot (a+b) }=a3+b3+3ab(a+b)\displaystyle{ = a^3+b^3+3ab \cdot (a+b) }
(a+b+c)3\displaystyle{ (a+b+c)^3 }=a3+b3+c3+3a2b+3a2c\displaystyle{ = a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3a^2c }+3ab2+3ac2+3b2c+3bc2+6abc\displaystyle{ + 3ab^2 + 3ac^2 +3b^2c + 3bc^2 +6abc }
(a+b)3\displaystyle{ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^3 }=aa+3ab+3ba+bb\displaystyle{ = a\sqrt{a} + 3a\sqrt{b} + 3b\sqrt{a} + b\sqrt{b} }=(aa+bb)+3ab(a+b)\displaystyle{ = (a\sqrt{a} +b\sqrt{b}) + 3\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) }

5. Differenz im Dritten Grad

(ab)3\displaystyle{ (a-b)^3 }=a33a2b+3ab2b3\displaystyle{ = a^3 - 3a^2b+3ab^2 - b^3 }=a3b33ab(ab)\displaystyle{ = a^3-b^3-3ab \cdot (a-b) }
(ab)3\displaystyle{ (\sqrt{a} - \sqrt{b})^3 }=aa3ab+3babb\displaystyle{ = a\sqrt{a} - 3a\sqrt{b} + 3b\sqrt{a} - b\sqrt{b} }=(aabb)3ab(ab)\displaystyle{ = (a\sqrt{a} - b\sqrt{b}) - 3\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b}) }

6. Summe und Differenz der Würfel

a3+b3\displaystyle{ a^3 + b^3 }=(a+b)(a2ab+b2)\displaystyle{ = (a+b) \cdot (a^2-ab+b^2) }
a3b3\displaystyle{ a^3 - b^3 }=(ab)(a2+ab+b2)\displaystyle{= (a-b) \cdot (a^2+ab+b^2) }

7. Reduzierte multiplikationsformeln für den vierten Grad

(a+b)4\displaystyle{ (a+b)^4 }=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4\displaystyle{ = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 }
(ab)4\displaystyle{ (a-b)^4 }=a44a3b+6a2b24ab3+b4\displaystyle{ = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4 }
a4+b4\displaystyle{ a^4+b^4 }=(a22ab+b2)(a2+2ab+b2)\displaystyle{ = (a^2- \sqrt{2} \cdot ab + b^2) \cdot (a^2 + \sqrt{2} \cdot ab + b^2) }
a4b4\displaystyle{ a^4-b^4 }=(a2b2)(a2+b2)\displaystyle{ = (a^2-b^2) \cdot (a^2+b^2) }=(ab)(a+b)(a2+b2)\displaystyle{ = (a-b) \cdot (a+b) \cdot (a^2+b^2) }

8. Formeln der reduzierten Multiplikation für den fünften Grad

(a+b)5\displaystyle{ (a+b)^5 }=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5\displaystyle{ = a^5+5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5 }
(ab)5\displaystyle{ (a-b)^5 }=a55a4b+10a3b210a2b3+5ab4b5\displaystyle{ = a^5-5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5 }
a5+b5\displaystyle{ a^5+b^5 }=(a+b)(a4a3b+a2b2ab3+b4)\displaystyle{ = (a+b) \cdot (a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4) }
a5b5\displaystyle{ a^5-b^5 }=(ab)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)\displaystyle{ = (a-b) \cdot (a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) }

9. Reduzierte multiplikationsformeln für den sechsten Grad

(a+b)6\displaystyle{ (a+b)^6 }=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b5\displaystyle{ = a^6 + 6a^5b +15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15 a^2b^4 + 6ab^5 + b^5 }
(ab)6\displaystyle{ (a-b)^6 }=a66a5b+15a4b220a3b3+15a2b46ab5+b5\displaystyle{ = a^6 - 6a^5b +15a^4b^2 - 20a^3b^3 + 15 a^2b^4 - 6ab^5 + b^5 }
a6b6\displaystyle{ a^6-b^6 }=(a+b)(a5a4b+a3b2a2b3+ab4b5)\displaystyle{ = (a+b)(a^5 - a^4b + a^3b^2 - a^2b^3 + ab^4 - b^5) }=(a+b)(ab)(a2ab+b2)(a2+ab+b2)\displaystyle{ = (a+b)(a-b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2) }

10. Reduzierte multiplikationsformeln für den Grad n, wo n - jede natürliche zahl

(a+b)n\displaystyle{ (a+b)^n}=(a+b)n1(a+b)\displaystyle{ = (a+b)^{n-1} \cdot (a+b) }
anbn\displaystyle{ a^n-b^n }=(ab)(an1+an2b+...+abn2+bn1)\displaystyle{ = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + ... + ab^{n-2} + b^{n-1}) }

11. Reduzierte multiplikationsformeln für den Grad n, wo n - gerade positive zahl

anbn\displaystyle{ a^n-b^n }=(a+b)(an1an2b+...+abn2bn1)\displaystyle{ = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + ... + ab^{n-2} - b^{n-1}) }

12. Reduzierte multiplikationsformeln für den Grad n, wo n - ungerade positive zahl

an+bn\displaystyle{ a^n+b^n}=(a+b)(an1an2b+...abn2+bn1)\displaystyle{ = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + ... - ab^{n-2} + b^{n-1}) }

13. Einige eigenschaften von formeln

(ab)2n\displaystyle{ (a-b)^{2n} }=(ba)2n\displaystyle{ = (b-a)^{2n} }
(ab)2n+1\displaystyle{ (a-b)^{2n+1} }=(ba)2n+1\displaystyle{ = -(b-a)^{2n+1} }
(ab)2=(ba)2\displaystyle{ (a-b)^2 = (b-a)^2 }
(a+b)2a2+b2\displaystyle{ (a+b)^2 \ne a^2 + b^2 }