Zkrácené vzorce násobení

1. Čtvercová částka

$\displaystyle{ (a+b)^2 }$$\displaystyle{ = a^2 + 2ab +b^2 }$
$\displaystyle{ (a+b+c)^2 }$$\displaystyle{ = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc }$
$\displaystyle{ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 }$$\displaystyle{ = a + 2 \sqrt{ab} + b }$$\displaystyle{ = a+b+2\sqrt{ab} }$

---

2. Rozdíl čtvercový

$\displaystyle{ (a-b)^2 }$$\displaystyle{ = a^2 - 2ab +b^2 }$
$\displaystyle{ (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 }$$\displaystyle{ = a - 2 \sqrt{ab} + b }$$\displaystyle{ = a+b-2\sqrt{ab} }$

---

3. Součet a rozdíl čtverců

$\displaystyle{ a^2+b^2 }$$\displaystyle{ = (a+b)^2 - 2ab = (a-b)^2 + 2ab }$
$\displaystyle{ a^2-b^2 }$$\displaystyle{ = (a-b) \cdot (a+b)}$

---

4. Částka ve třetím stupni

$\displaystyle{ (a+b)^3 }$$\displaystyle{ = a^3 +3a^2b+3ab^2+b^3 = a^3+b^3+3ab \cdot (a+b) }$$\displaystyle{ = a^3+b^3+3ab \cdot (a+b) }$
$\displaystyle{ (a+b+c)^3 }$$\displaystyle{ = a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3a^2c }$$\displaystyle{ + 3ab^2 + 3ac^2 +3b^2c + 3bc^2 +6abc }$
$\displaystyle{ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^3 }$$\displaystyle{ = a\sqrt{a} + 3a\sqrt{b} + 3b\sqrt{a} + b\sqrt{b} }$$\displaystyle{ = (a\sqrt{a} +b\sqrt{b}) + 3\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) }$

---

5. Rozdíl ve třetím stupni

$\displaystyle{ (a-b)^3 }$$\displaystyle{ = a^3 - 3a^2b+3ab^2 - b^3 }$$\displaystyle{ = a^3-b^3-3ab \cdot (a-b) }$
$\displaystyle{ (\sqrt{a} - \sqrt{b})^3 }$$\displaystyle{ = a\sqrt{a} - 3a\sqrt{b} + 3b\sqrt{a} - b\sqrt{b} }$$\displaystyle{ = (a\sqrt{a} - b\sqrt{b}) - 3\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b}) }$

---

6. Součet a rozdíl kostek

$\displaystyle{ a^3 + b^3 }$$\displaystyle{ = (a+b) \cdot (a^2-ab+b^2) }$
$\displaystyle{ a^3 - b^3 }$$\displaystyle{= (a-b) \cdot (a^2+ab+b^2) }$

---

7. Formule zkráceného násobení pro čtvrtý stupeň

$\displaystyle{ (a+b)^4 }$$\displaystyle{ = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 }$
$\displaystyle{ (a-b)^4 }$$\displaystyle{ = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4 }$
$\displaystyle{ a^4+b^4 }$$\displaystyle{ = (a^2- \sqrt{2} \cdot ab + b^2) \cdot (a^2 + \sqrt{2} \cdot ab + b^2) }$
$\displaystyle{ a^4-b^4 }$$\displaystyle{ = (a^2-b^2) \cdot (a^2+b^2) }$$\displaystyle{ = (a-b) \cdot (a+b) \cdot (a^2+b^2) }$

---

8. Formule redukce pro pátý stupeň

$\displaystyle{ (a+b)^5 }$$\displaystyle{ = a^5+5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5 }$
$\displaystyle{ (a-b)^5 }$$\displaystyle{ = a^5-5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5 }$
$\displaystyle{ a^5+b^5 }$$\displaystyle{ = (a+b) \cdot (a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4) }$
$\displaystyle{ a^5-b^5 }$$\displaystyle{ = (a-b) \cdot (a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) }$

---

9. Vzory zkráceného násobení pro šestý stupeň

$\displaystyle{ (a+b)^6 }$$\displaystyle{ = a^6 + 6a^5b +15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15 a^2b^4 + 6ab^5 + b^5 }$
$\displaystyle{ (a-b)^6 }$$\displaystyle{ = a^6 - 6a^5b +15a^4b^2 - 20a^3b^3 + 15 a^2b^4 - 6ab^5 + b^5 }$
$\displaystyle{ a^6-b^6 }$$\displaystyle{ = (a+b)(a^5 - a^4b + a^3b^2 - a^2b^3 + ab^4 - b^5) }$$\displaystyle{ = (a+b)(a-b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2) }$

---

10. Snížené vzorce pro rozmnožování pro stupeň n, kde n - jakékoliv přirozené číslo

$\displaystyle{ (a+b)^n}$$\displaystyle{ = (a+b)^{n-1} \cdot (a+b) }$
$\displaystyle{ a^n-b^n }$$\displaystyle{ = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + ... + ab^{n-2} + b^{n-1}) }$

---

11. Snížené vzorce pro rozmnožování pro stupeň n, kde n - dokonce kladné číslo

$\displaystyle{ a^n-b^n }$$\displaystyle{ = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + ... + ab^{n-2} - b^{n-1}) }$

---

12. Snížené vzorce pro rozmnožování pro stupeň n, kde n - nepatrné kladné číslo

$\displaystyle{ a^n+b^n}$$\displaystyle{ = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + ... - ab^{n-2} + b^{n-1}) }$

---

13. Některé vlastnosti vzorců

$\displaystyle{ (a-b)^{2n} }$$\displaystyle{ = (b-a)^{2n} }$
$\displaystyle{ (a-b)^{2n+1} }$$\displaystyle{ = -(b-a)^{2n+1} }$
$\displaystyle{ (a-b)^2 = (b-a)^2 }$
$\displaystyle{ (a+b)^2 \ne a^2 + b^2 }$

---