Матрицы

Матрицы

Общие сведения о матрицах из курса высшей математики

Краткая информация о матрицах в математике, видах матриц и действиях с ними.


Что такое матрица

Матрица - это прямоугольный массив элементов, записанных в виде набора строк и столбцов, количество которых определяют размер матрицы. Запись в виде прямоугольной таблицы, содержащая m - строк и n - столбцов, называется матрицей и записывается в виде:

$$ \left| \begin{array}{rrr} 0 & -33 & 58 & 45 \\ 23 & 0 & 7 & 5 \\ 6 & 0 & -11 & 21 \end{array}\right|, \ \left[ \begin{array}{rrr} a & f \\ c & d \end{array}\right], \ \left( \begin{array}{ccc} \cos\alpha \\ sin\alpha \\ sin(\alpha + \beta) \end{array}\right) $$

Запись данных в виде матрицы позволяет компактно предоставить набор данных (чисел, символов, переменных и т.д.) и в последующем выполнить математические операции над этими данными или математические преобразования записанных в матрице данных.


выше указанная первая матрица: $$ \left( \begin{array}{rrr} 0 & -33 & 58 & 45 \\ 23 & 0 & 7 & 5 \\ 6 & 0 & -11 & 21 \end{array}\right) $$

  • это матрица размерностью 3 × 43 – строки и 4 – столбца
  • у матрицы три строки: $ \left( \begin{array}{ccc} 0 & -33 & 58 & 45 \end{array}\right), \ \left( \begin{array}{ccc} 23 & 0 & 7 & 5 \end{array}\right), \ \left( \begin{array}{ccc} 6 & 0 & -11 & 21 \end{array}\right), \ $
  • у матрицы четыре столбца: $ \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 23 \\ 6 \end{array}\right), \ \left( \begin{array}{ccc} -33 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), \ \left( \begin{array}{ccc} 58 \\ 7 \\ -11 \end{array}\right), \ \left( \begin{array}{ccc} 45 \\ 5 \\ 21 \end{array}\right) $
  • каждому элементу матрицы можно присвоить порядковый номер и записать в виде: $ a_{11}\!=\!0,\ a_{12}\!=\!-33,\ a_{13}\!=\!58,\ a_{14}\!=\!45,$ $ a_{21}\!=\!23,\ a_{22}\!=\!0,\ a_{23}\!=\!7,\ a_{24}\!=\!5,\ $ $ a_{31}\!=\!6,\ a_{32}\!=\!0,\ a_{33}\!=\!-11,\ a_{34}\!=\!21 $

Для выполнения математических операций над матрицами, необходимо четко и однозначно идентифицировать каждый элемент матрицы и его взаимное расположение в матрице относительного других элементов. Для этого, каждому элементу присваивается порядковый номер, состоящий из номера строки и номера столбца в которых расположен элемент. Например, элемент расположенный в первой строке и третьем столбце будет иметь порядковый номер: $ а_{13} $.

Используя указанное правило нумерации элементов матрицы, матрицу размерностью m – строк и n – столбцов, можно записать в виде:

$$ A = \left[ \begin{array}{rrr} a_{11} & a_{12} & a_{13} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & ... & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & ... & a_{3n} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & ... & a_{mn} \end{array}\right] $$

где элементом $ а_{ij} $ матрицы может быть любое действительное или комплексное число, функция, буква или слово или любой другой символ. Матрица может даже состоять из элементов, каждый из которых будет являться так же матрицей.



Существует несколько видов матриц, обладающих фиксированными параметрами. Например, матрица, состоящая только из строки или столбца, или матрица содержащая все нули. Запись матриц в подобном виде помогает упростить некоторые математические операции над матрицами.

Рассмотрим некоторые виды специальных матриц.


Специальные виды матриц

Нулевая матрица - это матрица произвольного порядка называется нулевой матрицей тогда и только тогда, когда каждый элемент матрицы равен нулю. $ \left( \begin{array}{rrr} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) $


Матрица «вектор-строка» - это матрица, которая имеет только одну строку. $ \left( \begin{array}{rrr} 3x & 2y & 45xy & 9 \end{array}\right) $


Матрица «вектор-столбец» - это матрица, которая имеет только один столбец. $ \left( \begin{array}{ccc} 45 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right) $



Математические операции над матрицами

Над данными записанными в виде матрице можно выполнять следующие математические операции:


Над двумя и более матрицами, можно выполнить математические операции:


Матрицы

Поделиться ссылкой